Математичні софізми, парадокси

Парадокси Процес пізнання людиною навколишнього світу можна порівняти з радісним торжеством, бо кожна розкрита таємниця зміцнює віру її в свої сили. Але на шляху переможної людської думки виникали величезні, здавалося б нездоланні, перешкоди – задачі, перед якими були безсилі найвитонченіші міркування. Вчені боляче переживали такі невдачі. Давньогрецький філософ Діодор Кронос (пом. бл. 307 р. до н. е.), не розв'язавши однієї з найдавніших логічних загадок – парадоксу Евбуліда, помер від розпачу, а другий філософ Філет Косський, зазнавши такої самої невдачі, покінчив життя самогубством. Давньогрецькі вчені натрапили на нерозв'язні задачі і в математиці. Вони докладали багато зусиль, щоб виявити механізми утворення таких загадок. Було встановлено, що наші міркування також підпорядковані певним законам (законам логіки), порушення яких знецінює результати, здобуті в таких міркуваннях. Нерозв'язність задач, з якими зустрілися Діодор Кронос та Філет Колосський, пояснюється, як правило, порушенням законів логіки. Тому вже тоді гостро постало питання про систему «профілактичних заходів» додержання певних правил міркувань з метою уникнення логічних пасток. Напевне, перша в історії спроба проведення «логічної профілактики» для початківців у математиці належить геніальному давньогрецькому математикові, автору славнозвісних «Начал» – Евкліду (IV ст. до н. е.). Він створив дивовижний збірник «Псевдарій», де вмістив різні помилкові міркування, до яких часто вдаються ті, хто починає вивчати математику. Отже, Евклід був автором першого з відомих досі збірників математичних софізмів та парадоксів. Нажаль, цей твір патріарха математики не дійшов до нас. Зате вимогливість Евкліда до строгості й культури міркувань знайшла численних послідовників, які зібрали й опублікували велику колекцію математичних софізмів і парадоксів. Людині властиво помилятися. Тому дуже важливо, щоб вона вміла виявляти свої та чужі помилки, вчилась уникати їх. Саме тут і стають у пригоді такі збірники, як «Псевдарій». Зрозуміло, що чим хитріший софізм, чим майстерніше замаскована помилка, тим більше задоволення мають її шукачі, бо кожне спростування софізму – це насамперед маленьке відкриття і прекрасна школа культури міркувань. ПАРАДОКС грецьке paradoxos – дивний, несподіваний) – несподівані явища або висловлювання, які формою або змістом суперечать нашим знанням і уявленням. У парадоксах можуть висловлюватись істинні думки, які дуже розходяться з нашими уявленнями або форма висловлювання яких несподівана. Здебільшого в парадоксах висловлюють неправильні твердження в зовнішньо переконливій формі. СОФІЗМ (від грецького sophistes – той хто вміє мудрувати, дотепно вигадувати) – логічно недостатній умовивід, в якому хибні посилки видаються за істинні або робиться висновок з порушенням законів логики. Задачі-софізми 1. Із «Арифметики» М. П. Магніцького. Дехто продав коня за 156 крб. Однак покупець, придбавши коня, передумав його купувати і повернув продавцеві, кажучи: – Нема рації мені купувати за цю ціну коня, бо він таких грошей не вартий. Тоді продавець запропонував інші умови: – Якщо, на твою думку, ціна коня надто велика, то купи лише цвяхи, що у його підковах, а коня дістанеш тоді на додачу безплатно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях дай мені лише копійки, за другий – копійки, за третій 1 копійку і т. д. Покупець, спокушений низькою ціною, . бажаючи даром дістати коня, прийняв умови продавця, розраховуючи, що за цвяхи доведеться заплатити не більше як 10 карбованців. Скільки повинен заплатити покупець? 2. Підступний заповіт. Французька графиня Елізабет-Анжеліка де Боутвіль овдовіла в 20 років. її люблячий чоловік — губернатор Сенліса залишив такий заповіт: за перший рік після його смерті вдові має виплачуватися 1 золота монета, а якщо вона не вийде знову заміж, кожного наступного року вона має одержувати вдвічі більше, ніж попереднього. Графиня прожила ще 69 років і не вийшла знову заміж. На яку суму грошей вона отримала право? 3. Куди поділася 1 копійка? (Із задач Л. М. Толстого). Дві селянки продавали яблука, кожна по З0 штук. Перша продавала за 1 Копійку 2 штуки, а друга за 1 копійку –3 штуки. Перша вторгувала 15 копійок, друга – 10 копійок. Якось друга селянка не змогла піти на базар і попросила першу продавати її яблука. Та продавала 5 яблук за 2 копійки, оскільки вона за 1 копійку продавала свої 2 яблука, а її сусідка – за 1 копійку 3 яблука. У першої селянки було тепер 60 яблук. Вона зробила 12 купок по 5 яблук, продала кожну за 2 копійки і була здивована, що вторгувала не 25, а тільки 24копійки. Куди поділася 1 копійка? 4. Де ще один франк? Ввечері до готелю французького міста приїхали три туристи. Господар повідомив, що нічліг буде коштувати кожному 10 франків. Але коли гості розрахувалися і розмістилися в кімнатах, господар вирішив, що йому буде досить 25 франків і доручив посильному повернути туристам 5 франків. Посильний, не знаючи, як розділити 5 франків між трьома туристами, вирішив для простоти обчислень залишити собі 2 монети, а туристам повернув по одній монеті, і всі були задоволені. Потім він підвів підсумок і був здивований, бо вийшло ось що: гості заплатили разом 9-3=27 франків, два франки посильний залишив собі. Отже, всього від подорожніх одержали 27 + 2=29 франків. Але ж господар одержав спочатку З0 франків? Куди ж подівся 1 франк? 5. Описуючи життя Архімеда, римський історик Плутарх (50-125 pp.) стверджує, що великий математик вважав механізм важеля настільки досконалим, що сказав: «Дайте мені точку опори - і я зрушу Землю». А якщо й справді мати десь поза Землею точку опори, то якої довжини повинно бути одне плече важеля, щоб другим кінцем підняти Землю на 1 см? 6. Один римлянин, вмираючи, залишив заповіт на користь своєї дружини і дитини, яка мала народитися. Якщо народиться син, йому належатиме 2/3 спадщини, а дружині – 1/3. Якщо ж народиться дочка, то вона має одержати 1/3 майна, а 2/3 – мати. Але дружина римлянина народила близнюків: хлопчика і дівчинку. Як розділити спадщину? 7. Чи можна продати ціле яйце, продаючи по пів-яйця? Продавщиця гастроному розповідала, що вона продала одному покупцеві половину всіх яєць і ще пів-яйця, другому – половину залишку і ще пів-яйця, третьому – половину другого залишку і ще пів-яйця, так само вона продавала четвертому, п'ятому і шостому покупцеві, після чого в ящику залишилося тільки одне яйце. – Не розповідайте байки, – зауважив один із слухачів. – Як це ви могли продавати пів-яйця? – Але я нікому й не продавала пів-яйця, а завжди тільки цілі, – здивувалася в свою чергу продавщиця, – а все ж виходило, що продавала саме так, як розповідаю. Як це могло бути? 8. Один кочівник заповів своїм трьом синам 17 верблюдів. Старшому – половину всіх верблюдів, середньому – третину, а молодшому – дев'яту частину. Спантеличені нащадки довго сперечалися, як розділити спадщину. Випадково до них підійшов дідусь, ведучи старого знесиленого верблюда, і взявся розділити спадщину, віддавши братам і власного верблюда. Тоді із усіх 18 верблюдів старший дістав згідно із заповітом 9 (половину), середній 6 (третину), а молодший – 2 (дев'яту частину). Брати були дуже задоволені, дідусь теж, бо при цьому залишився один добре вгодований верблюд, з яким дідусь і продовжив свій шлях. Як це могло трапитися? Парадокси Евбуліда із Мілета (IV ст. до н. є.)  Евбулід із Мілета, філософ-ідеаліст із мегарської школи, прагнув довести, що чуттєві сприймання реального світу – хибні і що взагалі пізнання неможливе, бо воно суперечливе. Для обгрунтування своїх ідей сформулював ряд софізмів і парадоксів, вульгаризуючи ідею Зенона Елейського. 1. Парадокс «Брехун» Крітянин Епіменід сказав: «Усі крітяни – брехуни». Епіменід – сам крітянин. Отже, він брехун. Але якщо Епіменід – брехун, тоді його висловлення «Всі крітяни – брехуни» хибне. Звідси випливає, що крітяни не брехуни, отже, й Епіменід не брехун, і тому його висловлення «Всі крітяни — брехуни» істинне. Яке ж насправді висловлення Епіменіда: істинне чи хибне? Коментар. Парадокс Епіменіда, відомий також як парадокс «Брехун», зустрічається і в сильнішій формі, коли дехто говорить, що «висловлення, яке я тепер виголошую, хибне». Цей парадокс приписують Евбуліду. Аналіз Евбулідового «Брехуна» стимулював у середні віки авторів логічних трактатів про нерозв'язуванні висловлення. Антиномії цього типу відіграють велику роль у сучасній математичній логіці і теорії множин. Зокрема, ідея парадокса «Брехун» використана при доведенні знаменитої теореми Геделя про неповноту формалізованих теорій. 2. Купа Одне зерно купи не становить, додавши ще зернину, купи знову не матимемо. Як же дістати купу, додаючи кожного разу по одному зерну, з яких ні одне не становить купи? Коментар. Проблема виникає при спробі знайти відповідь на питання, коли «не купа» переходить в «купу», тобто чи існує фіксована кількість елементів, коли здійснюється названий перехід. Аналіз показує, що в парадоксі наявне припущення про можливість використання математичної індукції від п до п+1. В парадоксі, по суті, використано повну математичну індукцію, що й приводить до суперечності, бо метод повної математичної індукції не можна застосувати до понять, обсяг яких нечітко визначений, а саме таким і є поняття «купи». Крім того, в парадоксі ігнорується також об'єктивна закономірність будь-якого явища, в процесі перебігу якого кількісні зміни на певному етапі зумовлюють якісні зміни. При цьому нова якість (множини певних об'єктів, хоч би піску, бути «купою») зовсім не відгороджена від старої якості («не купи»). 3. Вкритий «Чи знаєш ти цього вкритого чоловіка?» «Ні». «Але цей вкритий чоловік — твій батько; отже, ти не знаєш свого батька». Коментар. М. І. Кондаков пояснює, що коли розглядати цей парадокс з погляду традиційної логіки, то він являє собою софізм, в якому є ніби двозначність дієслова «знати». Про вкриту людину не можна сказати, знаємо ми її чи не знаємо. Тому на питання потрібно відповідати так: «Оскільки ця людина вкрита, то мені невідомо, знаю я її чи не знаю». При такому підході софізм розв'язується легко. Якщо розглядати внутрішній зміст парадокса, то розв'язання його становить значно складнішу задачу. Тіль­ки німецький математик і логік Г. Фреге (1848-1925) зумів розв'язати цей парадокс за допомогою розроб­леної ним теорії опосередкованого використання імен предметів. 4. Софізм Еватла Еватл брав уроки софістики у давньогрецького софіста Протагора (бл. 481-411 до н.є.) з тією умовою, що гонорар він сплатить тільки в тому випадку, коли виграє свій перший судовий процес. Але після навчання Еватл не взявся вести жодого судового процесу і тому вважав, що може не платити гонорару Протагорові. Вчитель, погрожуючи подати на Еватла в суд, сказав: – Незалежно від того, присудять судді платити мені гонорар чи не присудять, ти його обов'язково сплатиш. У першому випадку ти сплатиш за вироком суду, в другому – за нашою домовленістю. На це Еватл, навчений Протагором мистецтву софістики, відповів: – Ні в тому, ні в іншому випадку гонорару я не буду платити. Якщо мені присудять платити, то я не заплачу відповідно до нашої домовленості, бо програюсвій перший судовий процес, у другому випадку я не платитиму відповідно до вироку суду. Коментар. З погляду традиційної логіки софістичний висновок виник внаслідок порушення закону тотожності. Одну і ту ж домовленість Еватл розглядав у різних відношеннях. У першому випадку Еватл мав виступати на суді юристом, який програє свій перший судовий процес, у другому випадку – відповідачем, якого суд виправдав. При роботі над даною сторінкою автори використали: Короткий математичний тлумачний словник (А.С.Бугай, Київ, 1964) Математичні софізми і парадокси (А.Г.Конфорович, Київ, 1983) Інтернет ресурс